Dato per assodato che i numeri reali costituiscano il fulcro dell’analisi matematica, solitamente corsi o libri di analisi sono soliti introdurli ricorrendo a una delle due possibili strade. E in effetti tutti modi (o comunque quasi tutti i modi) di introdurre i numeri reali si possono incasellare in una di queste due tipologie.

1. Definizione assiomatica.
   Si tratta di definire come un insieme con una lista di certe proprietà, che verranno accettate come assiomi.
2. Costruzione a partire da altre strutture.
   In questo caso,  viene introdotto come naturale conseguenza di argomenti e strutture già note. In questo caso, le proprietà dei numeri reali non sono assiomi, ma teoremi da dimostrare. Il caso più classico  è la costruzione di  come estensione di .

La prima volta che affrontai l’analisi matematica mi colpì proprio il fatto che come prima cosa si fa una lunga carrellata di assiomi e notazioni. Tra queste c’era anche la definizione assiomatica dei numeri reali. Ora capisco il perché di questa “stranezza” (l’apparente assurdità di propinare così tanta teoria astratta a dei neofiti). Partire con un punto di vista costruttivo sarebbe ancora più complicato!

Quindi, solitamente ci si rassegna a un’impostazione assiomatica, sperando che prima o poi i giovani virgulti capiranno… e se la matematica non è una materia per loro fondamentale potranno anche non capire e non succederà nulla. 😀 Sembrerà strano ma il calcolo differenziale (e non solo quello) si può fare anche “caprinamente”… almeno finchè non si arriva a dei livelli particolarmente avanzati (un fan del rigore teorico mi ucciderebbe per questo, ma, diciamocelo… è così 😛 ).

Ebbene sì, seguirò la stessa tiritera dei corsi di analisi “classici”. Inizierò parlando della definizione assiomatica dei numeri reali. Ho visto un paio di libri che partono con una impostazione costruttiva, allargandosi a partire dal campo dei numeri razionali. Non so come mai ma l’impressione è pessima. La materia sembra ancora più complicata di quella che è realmente. E io non voglio complicarmi la vita. 😀

Iniziamo, dunque, a far sorgere dal nulla il concetto di campo dei numeri reali. 😛

Quando si vuole cominciare (o ricominciare) a studiare una materia, la prima scelta non banale da compiere è quella del punto di partenza.

Nel caso dell’analisi matematica, senza voler addentrarsi in questioni più filosofiche che matematiche (che non sono certamente in grado di gestire 😛 ), mi può venire in aiuto una definizione generale dell’analisi matematica.

Mi sono sempre posto, infatti, questa domanda un po’ strana, soprattutto sfogliando diversi libri… cos’è che materialmente divide l’analisi matematica dall’algebra oppure dalla geometria? O ancora, dove finisce l’analisi matematica e dove cominciano le materie “sue parenti” come l’analisi complessa o la topologia?

Spulciando qua e là diverse fonti (ok, lo ammetto, praticamente solo Wikipedia) direi che posso mettermi il cuore in pace dandomi questa definizione un po’ formale e un po’ “casereccia”. L’analisi matematica è quella materia che si occupa di gran parte di ciò che concerne i concetti di infinito e di infinitesimo e che fa uso dei seguenti strumenti: i limiti, gli strumenti del calcolo differenziale (derivate, differenziali, forme differenziali, ecc.) e gli integrali.

La definizione che ho appena dato fa un po’ schifo 😀 (esistono libri e appunti seri per abbeverarsi di correttezza ed eleganza), però rende l’idea (dopotutto, l’analisi matematica si chiama anche calcolo infinitesimale… un motivo ci sarà…)

Questa definizione, comunque, suggerisce il fatto che tutta l’analisi in pratica si fonda sul campo dei numeri reali: possiamo definire, sia pure semplificando, che è l’insieme elementare su cui è “più facile” definire e provare tutti gli strumenti del calcolo. Poi si prova a estendere quanto dimostrato valido su  anche su altre strutture più complesse.

Queste elucubrazioni mi hanno convinto a cominciare il mio ripasso di analisi proprio da , in modo particolare dalla sua struttura e dai suoi metodi di costruzione (non ho ancora deciso come sviluppare precisamente la cosa).