Dato per assodato che i numeri reali costituiscano il fulcro dell’analisi matematica, solitamente corsi o libri di analisi sono soliti introdurli ricorrendo a una delle due possibili strade. E in effetti tutti modi (o comunque quasi tutti i modi) di introdurre i numeri reali si possono incasellare in una di queste due tipologie.
- Definizione assiomatica.
Si tratta di definirecome un insieme con una lista di certe proprietà, che verranno accettate come assiomi.
- Costruzione a partire da altre strutture.
In questo caso,.
come un insieme con una lista di certe proprietà, che verranno accettate come assiomi.
.La prima volta che affrontai l’analisi matematica mi colpì proprio il fatto che come prima cosa si fa una lunga carrellata di assiomi e notazioni. Tra queste c’era anche la definizione assiomatica dei numeri reali. Ora capisco il perché di questa “stranezza” (l’apparente assurdità di propinare così tanta teoria astratta a dei neofiti). Partire con un punto di vista costruttivo sarebbe ancora più complicato!
Quindi, solitamente ci si rassegna a un’impostazione assiomatica, sperando che prima o poi i giovani virgulti capiranno… e se la matematica non è una materia per loro fondamentale potranno anche non capire e non succederà nulla. 😀 Sembrerà strano ma il calcolo differenziale (e non solo quello) si può fare anche “caprinamente”… almeno finchè non si arriva a dei livelli particolarmente avanzati (un fan del rigore teorico mi ucciderebbe per questo, ma, diciamocelo… è così 😛 ).
Ebbene sì, seguirò la stessa tiritera dei corsi di analisi “classici”. Inizierò parlando della definizione assiomatica dei numeri reali. Ho visto un paio di libri che partono con una impostazione costruttiva, allargandosi a partire dal campo dei numeri razionali. Non so come mai ma l’impressione è pessima. La materia sembra ancora più complicata di quella che è realmente. E io non voglio complicarmi la vita. 😀
Iniziamo, dunque, a far sorgere dal nulla il concetto di campo dei numeri reali. 😛